Медиана прямоугольного треугольника
35 / 178

Примечание. В данном уроке изложены теоретические материалы и решение задач по геометрии на тему "медиана в прямоугольном треугольнике". Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Свойства медианы прямоугольного треугольника

Определение медианы


Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий один из углов треугольника с серединой противолежащей ему стороны.
(медианой также называют прямую, содержащую данный отрезок)
  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины угла. Точка их пересечения называется центром тяжести треугольника (относительно редко в задачах для обозначения этой точки используется термин "центроид"), 
  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
  • Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
  • Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.

Формулы свойств медианы в прямоугольном треугольнике

Задачи по геометрии, предлагаемые для решения, в основном, используют следующие свойства медианы прямоугольного треугольника.

  • Сумма квадратов медиан, опущенных на катеты прямоугольного треугольника равна пяти квадратам медианы, опущенной на гипотенузу (формула 1)
  • Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы (формула 2)
  • Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна радиусу окружности, описанной вокруг данного прямоугольного треугольника (формула 3)
  • Медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине корня квадратного из суммы квадратов катетов (формула 4)
  • Медиана, опущенная на гипотенузу, равна частному от деления длины катета на два синуса противолежащего катету острого угла (формула 5)
  • Медиана, опущенная на гипотенузу, равна частному от деления длины катета на два косинуса прилежащего катету острого угла (формула 6)
  • Сумма квадратов сторон прямоугольного треугольника равна восьми квадратам медианы, опущенной на его гипотенузу (формула 7)
Обозначения в формулах:
a, b - катеты прямоугольного треугольника
c - гипотенуза прямоугольного треугольника
Если обозначить треугольник, как ABC, то 
ВС = а
AC = b
AB = c
(то есть стороны a,b,c - являются противолежащими соответствующим углам)
ma - медиана, проведенная к катету а 
mb - медиана, проведенная к катету b
mc - медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе с
α (альфа) - угол CAB, противолежащий стороне а


Прямоугольный треугольник, с медианой, опущенной на гипотенузу и описанной окружностью

Задача про медиану в прямоугольном треугольнике

Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, равны, соответственно,  3 см и 4 см. Найдите гипотенузу треугольника

Решение
treug.gif

Прежде чем начать решение задачи, обратим внимание на соотношение длины гипотенузы прямоугольного треугольника и медианы, которая опущена на нее. Для этого обратимся к формулам 2, 4, 5 свойств медианы в прямоугольном треугольнике. В этих формулах явно указано соотношение гипотенузы и медианы, которая на нее опущена как 1 к 2. Поэтому,для удобства будущих вычислений (что никак не повлияет на правильность решения, но сделает его более удобным), обозначим длины катетов AC и BC через переменные x и y как 2x и 2y (а не x и y). 

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Угол C у него прямой по условию задачи, катет AC - общий с треугольником ABC, а катет CD равен половине BC согласно свойствам медианы. Тогда, по теореме Пифагора   

AC2 + CD2 = AD2

Поскольку AC = 2x, CD = y (так как медиана делит катет на две равные части), то
4x2 + y2 = 9 

Одновременно, рассмотрим прямоугольный треугольник EBC. У него также угол С прямой по условию задачи, катет BC является общим с катетом BC исходного треугольника ABC, а катет EC по свойству медианы равен половине катета AC исходного треугольника ABC.
По теореме Пифагора:
EC2 + BC2  = BE2

Поскольку EC = x (медиана делит катет пополам), BC = 2y, то
x2 + 4y2  = 16

Так как треугольники ABC, EBC и ADC связаны между собой общими сторонами, то оба полученных уравнения также связаны между собой.
Решим полученную систему уравнений. 
4x2 + y2 = 9
x2 + 4y2  = 16 

Сложим оба уравнения (впрочем, можно было выбрать и любой другой способ решения).
5x2 + 5y2 = 25  
5( x2 + y2 ) = 25
x2 + y2 = 5 

Обратимся к исходному треугольнику ABC. По теореме Пифагора  
AC2 + BC2  = AB2

Так как длина каждого из катетов нам "известна", мы приняли, что их длина равна 2x и 2y, то есть
4x2 + 4y2 = AB2
Так как оба слагаемых имеют общий множитель 4, вынесем его за скобки      
4 ( x2 + y2 ) = AB2  
Чему равно  x2 + y2 мы уже знаем (см. выше x2 + y2 = 5), поэтому просто подставим значения вместо  x2 + y2 

AB2 = 4 х 5
AB2 = 20
AB = √20 = 2√5  

Ответ: длина гипотенузы равна 2√5     

0  


 Угол между высотой и медианой треугольника | Описание курса | Равнобедренный треугольник 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика