Список предметов
Медіана прямокутного трикутника
36 / 189
Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения

Примітка. В даному уроці викладені теоретичні матеріали і рішення задач з геометрії на тему "медіана в прямокутному трикутнику". Якщо Вам необхідно вирішити задачу з геометрії, якої тут немає - пишіть про це в форумі. Майже напевно, курс буде доповнений.

Властивості медіани прямокутного трикутника

Визначення медіани


Медіана трикутника - це відрізок, що з'єднує один з кутів трикутника з серединою протилежної йому сторони. (Медіаною також називають пряму, що містить даний відрізок)


  • Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться цією точкою на дві частини у відношенні 2:1, рахуючи від вершини кута. Точка їх перетину називається центром ваги трикутника (відносно рідко в задачах для позначення цієї точки використовується термін "центр ваги");
  • Медіана розбиває трикутник на два рівновеликих трикутника; 
  • Трикутник ділиться трьома медіанами на шість рівновеликих трикутникiв; 
  •  Більшій стороні трикутника відповідає менша медіана.

Формулы свойств медианы в прямоугольном треугольнике

Задачі по геометрії, запропоновані для вирішення, в основному, використовують такі властивості медіани прямокутного трикутника:.

  • Сума квадратів медіан, що проведені до катетів прямокутного трикутника, дорівнює п'яти квадратам медіан, що проведені до гіпотенузи (Формула 1);
  • Медіана, що проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи (Формула 2);
  • Медіана, що проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює радіусу кола, описаного навколо даного прямокутного трикутника (Формула 2);
  • Медіана, що проведена до гіпотенузи, дорівнює половині квадратного кореня з суми квадратів катетів (Формула 3);
  • Медіана, що проведена до гіпотенузи, дорівнює частці від ділення довжини катета на два синуси протилежного до катету гострого кута (Формула 4);
  • Медіана, що проведена до гіпотенузи, дорівнює частці від ділення довжини катета на два косинуси прилеглого до катету гострого кута (Формула 4);
  • Сума квадратів сторін прямокутного трикутника дорівнює восьми квадратам медіани, що проведена на його гіпотенузу (формула 5).
Позначення в формулах:

a, b - катети прямокутного трикутника;

c - гіпотенуза прямокутного трикутника;

Якщо позначити трикутник, як ABC, то

ВС = а

AC = b

AB = c

(Тобто сторони a, b, c - є протилежними відповідним кутам)


ma - медіана, проведена до катету а 

mb - медиана, проведенная к катету b

mc - медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи c

α (альфа) - кут CAB, протилежний стороні а


Прямоугольный треугольник, с медианой, опущенной на гипотенузу и описанной окружностью

Задача про медиану в прямоугольном треугольнике

Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, равны, соответственно,  3 см и 4 см. Найдите гипотенузу треугольника

Решение 
treug.gif

Прежде чем начать решение задачи, обратим внимание на соотношение длины гипотенузы прямоугольного треугольника и медианы, которая опущена на нее. Для этого обратимся к формулам 2, 4, 5 свойств медианы в прямоугольном треугольнике. В этих формулах явно указано соотношение гипотенузы и медианы, которая на нее опущена как 1 к 2. Поэтому,для удобства будущих вычислений (что никак не повлияет на правильность решения, но сделает его более удобным), обозначим длины катетов AC и BC через переменные x и y как 2x и 2y (а не x и y). 

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Угол C у него прямой по условию задачи, катет AC - общий с треугольником ABC, а катет CD равен половине BC согласно свойствам медианы. Тогда, по теореме Пифагора   

AC2 + CD2 = AD2 

Поскольку AC = 2x, CD = y (так как медиана делит катет на две равные части), то 
4x2 + y2 = 9  

Одновременно, рассмотрим прямоугольный треугольник EBC. У него также угол С прямой по условию задачи, катет BC является общим с катетом BC исходного треугольника ABC, а катет EC по свойству медианы равен половине катета AC исходного треугольника ABC. 
По теореме Пифагора: 
EC2 + BC2  = BE2 

Поскольку EC = x (медиана делит катет пополам), BC = 2y, то 
x2 + 4y2  = 16 

Так как треугольники ABC, EBC и ADC связаны между собой общими сторонами, то оба полученных уравнения также связаны между собой. 
Решим полученную систему уравнений.  
4x2 + y2 = 9 
x2 + 4y2  = 16 

Сложим оба уравнения (впрочем, можно было выбрать и любой другой способ решения). 
5x2 + 5y2 = 25   
5( x2 + y2 ) = 25 
x2 + y2 = 5 

Обратимся к исходному треугольнику ABC. По теореме Пифагора   
AC2 + BC2  = AB2 

Так как длина каждого из катетов нам "известна", мы приняли, что их длина равна 2x и 2y, то есть 
4x2 + 4y2 = AB
Так как оба слагаемых имеют общий множитель 4, вынесем его за скобки       
4 ( x2 + y2 ) = AB2   
Чему равно  x2 + y2 мы уже знаем (см. выше x2 + y2 = 5), поэтому просто подставим значения вместо  x2 + y2 

AB2 = 4 х 5 
AB2 = 20 
AB = √20 = 2√5   

Ответ: длина гипотенузы равна 2√5      


0  


 Медиана прямоугольного треугольника | Описание курса | Равнобедренный треугольник 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru