Теорема косинусов формулируется следующим образом: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Задача

Одна из сторон треугольника больше другой на 8 сантиметров, а угол между ними равен 120 градусам. Найдите периметр треугольника, если длин третьей стороны равна 28 см.

Решение.

Обозначим одну из сторон треугольника как x, тогда величина другой равна x+8 см.

Исходя из теоремы косинусов, получим:
28² = x² + (x+8)²-2x(x+8)cos120^o
784 = x² + x² +16x + 64 - 2x(x+8)(-0,5)
784 = 2x²+16x + 64 + x(x+8)
720 = 3x² + 16x + 8x
3x² + 24x +720 = 0
D=9216
x₁=((-24)+96)/6=12 (второй корень является отрицательным числом и не имеет смысла в рамках решения задачи)

Таким образом, периметр треугольника P=12+(12+8)+28 = 60 см.

Ответ: 60 см

Задача   

В треугольнике АВС сторона АС равна 7√3 см, сторона ВС равна 1 см. Угол С равен 150 градусам. Найти длину стороны АВ.

Решение.
Применим теорему косинусов и соответствующую формулу (см.выше)
AB²  = (7√3)² + 1²  - 2 (7√3) cos 150º

Значение косинуса 150 градусов найдем по таблице значений тригонометрических функций.
AB² = 147 + 1 - 14√3 (-√3/2) 
AB² = 148 + 21 = 169
AB = 13

Ответ: 13 см