Теорема синусов (часть 2)
106 / 178
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел теорема синусов). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме .

Теорию подробно см. в главе "Теорема синусов".

Задача

Сторона АВ треугольника ABC равна 16см. Угол А равен 30 градусам. Угол В равен 105 градусам. Вычислите длину стороны ВС.
Произвольный треугольник

Решение.
Согласно теореме синусов, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ

Таким образом
BC / sin α = AB / sin γ

Величину угла С найдем, исходя из того, сумма углов треугольника равна 180 градусам.
С = 180 - 30 -105 = 45 градусов.

Откуда:
BC / sin 30° = 16 / sin 45°

BC = 16 sin 30° /  sin 45°

Обратившись к таблице тригонометрических функций, находим:

BC = ( 16 * 1 / 2 ) / √2/2 = 16 / √2 ≈ 11,3 см

Ответ: 16 / √2

Задача.
В треугольнике ABC угол А = α, угол С = β, ВС = 7см, ВН - высота треугольника.
Найти АН
Произвольный треугольник с высотой

Решение.
Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов. Из нее следует, что:

BC / sin α = AB / sin β

то есть
7 / sin α = AB / sin β
AB = 7
sin β / sin α

Теперь рассмотрим треугольник ABH. По условию задачи BH - высота, значит он является прямоугольным. Угол AHB = 90 градусам.
Тогда угол ABH = 180 - 90 -
α. = 90 - α.
Для него будет верно соотношение:

AB / sin 90 = AH / sin (90 -
α)

Из
таблицы значений тригонометрических функций учтем что sin 90 = 1, тогда

AB = AH / sin (90 -
α)

Из формул приведения тригонометрических функций учтем что sin( 90 - α ) = cos α, тогда

AB = AH / cos α

Подставим значение AB

7 sin β / sin α = AH / cos α
AH sin
α = 7 sin β cos α
AH =
7 sin β cos α / sin α

Из тех же тригонометрических тождеств выясним, что
cos α / sin α = ctg α, тогда

AH = 7 sin β ctg α

Ответ: 7 sin β ctg α
0  


 Теорема синусов | Описание курса | Многоугольники 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика