Список предметов
Биссектриса углов треугольника
22 / 191
Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения

См. также биссектриса угла.

БИССЕКТРИСА УГЛА ТРЕУГОЛЬНИКА

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

У биссектрис угла треугольника есть масса свойств, которые описываются через свойства треугольника. Это поможет в решении задач.

Свойства биссектрис треугольника

  • Биссектриса треугольника, проведенная из данной вершины, тождественна биссектрисе соответствующего угла. Биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот угол треугольника пополам 

  • Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая расположена всегда в плоскости треугольника и является центром вписанной окружности. Примечание. Имеются ввиду биссектрисы внутренних углов треугольника.
    Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая расположена всегда в плоскости треугольника и является центром вписанной окружности

  • Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины
    Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины
  • Биссектриса  любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника
  • Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
  • Угол между биссектрисами двух смежных углов (между внутренними и внешними биссектрисами углов треугольника при одной вершине) равен 90 градусам
    Угол между биссектрисами двух смежных углов (между внутренними и внешними биссектрисами углов треугольника при одной вершине) равен 90 градусам

Свойства биссектрис равнобедренного треугольника

  • У равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию треугольника, совпадают

  • Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой того угла, из которого она выходит.

  • В равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, а третья биссектриса является его медианой и высотой
    В равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, а третья биссектриса является его медианой и высотой. У равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию треугольника, совпадают

  • Одна и только одна биссектриса внешнего угла неравностороннего треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный

Свойства биссектрис равностороннего треугольника

  • У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам

  • У равностороннего треугольника все три внутренние биссектрисы равны
  • У равностороннего треугольника все три «замечательные» линии (высота, биссектриса и медиана) совпадают и три «замечательных» точки (точки ортоцентра, центра тяжести и центра вписанной и описанной окружностей) находятся в одной точке пересечения «замечательных» линий, т.е. тоже совпадают.

Формулы нахождения биссектрисы угла

Рисунок для пояснения формул нахождения длины биссектрисы в треугольнике

Формулы нахождения длины биссектрисы угла через длины сторон треугольника и угол между сторонами

a, b, c - стороны треугольника, при этом биссектриса проведена из угла, находящегося между сторонами a, b
α,β,γ - углы треугольника, противолежащие сторонам a,b,c соответственно
p - полупериметр треугольника (половина суммы всех его сторон)
ca, cb - отрезки, на которые биссектрисой, проведенной из угла c разбита сторона c

lc - длина биссектрисы, проведенной к стороне c из угла γ.

Длина биссектрис треугольника может быть выражена через равенство с квадратом суммы всех его сторон.

квадрат суммы сторон треугольника может быть выражен через длину биссектрис и сторон этого треугольника

Формулы нахождения расстояния от угла до точки пересечения биссектрис

Рисунок, поясняющий формулу определения расстояний от угла до дочки пересечения биссектрис, радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника

Формулы, описывающие взаимоотношения длины отрезка биссектрисы до центра пересечения биссектрис треугольника, радиусов вписанной и описанной окружностей и длин сторон этого треугольника

где

lco - длина отрезка, лежащего на биссектрисе от вершины угла до центра пересечения биссектрис
r - радиус окружности, вписанной в треугольник
R - радиус описанной окружности
a, b, c - стороны треугольника, при этом биссектриса проведена из угла, находящегося между сторонами a, b
γ - угол треугольника, противолежащий стороне c 
p - полупериметр треугольника (половина суммы всех его сторон) 

Примеры решения задач

Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии о биссектрисе. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.


Задача.

Луч AD является биссектрисой угла A. На сторонах угла A отмечены точки B,C так что угол ADC равен углу ADB. Доказать, что AB=AC.

Биссектриса угла

Решение.
Рассмотрим треугольники ADB и ADC. Сторона AD у них общая, углы DAC и DAB равны, так как биссектриса AD делит угол А пополам, а углы ADC и ADB равны по условию задачи. Таким образом, треугольники ADB и ADC равны по стороне и двум углам.

Следовательно AB = AC.
0  


 Биссектриса угла | Описание курса | Биссектриса внешнего угла 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru