Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды
148 / 181

Найти площадь поверхности правильной треугольной пирамиды


В этом уроке:
  • Задача 1. Найти площадь полной поверхности пирамиды
  • Задача 2. Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды
  • Задача 3. Найти площадь полной поверхности правильной пирамиды
См. также материалы по теме:
Как найти площадь поверхности пирамиды.

Примечание. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√"

Задача 1. Найти площадь полной поверхности правильной пирамиды

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см. а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. 
Найти площадь полной поверхности пирамиды

Решение.
Правильная пирамида
В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник.
Поэтому для решения задачи воспользуемся свойствами правильного треугольника:
Формулы равностороннего треугольника

Нам известна высота треугольника, откуда можно найти его площадь.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Откуда площадь основания будет равна:
S = √3/4 a2
S = √3/4 ( 6 / √3 )2
S = 3√3

Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам.
Таким образом:
OK / MK = cos 45
Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций и подставим известные значения.

OK / MK = √2/2

Учтем, что OК равен радиусу вписанной окружности. Тогда
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Тогда
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2

Площадь боковой грани тогда равна половине произведения высоты на основание треугольника.
Sбок = 1/2 (6 / √3 ) (2/√2) = 6/√6

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды будет равна
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Ответ: 3√3 + 18/√6

Задача 2. Найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды

В правильной треугольной пирамиде высота равна 10 см, а сторона основания 16 см. Найти площадь боковой поверхности

Решение
Правильная пирамида 
Поскольку основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник, то AO является радиусом описанной вокруг основания окружности. 
(Это следует из свойств правильной пирамиды

Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника найдем из его свойств 
Формулы равностороннего треугольника 

Откуда длина ребер правильной треугольной пирамиды будет равна: 
AM2 = MO2 + AO2 
высота пирамиды известна по условию (10 см), AO = 16√3/3 
AM2 = 100 + 256/3 
AM = √(556/3) 

Каждая из сторон пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник. Площадь равнобедренного треугольника найдем из первой формулы, представленной ниже   
Формулы нахождения площади равнобедренного треугольника через его стороны и углы, а также через основание и высоту 
S = 1/2 * 16 sqrt(  (√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8) ) 
S = 8 sqrt(  (556/3) - 64 ) 
S = 8 sqrt(  364/3 ) 
S = 16 sqrt(  91/3 ) 

Поскольку все три грани у правильной пирамиды равны, то площадь боковой поверхности будет равна 
3S = 48 √(91/3) 

Ответ: 48 √(91/3) 

Задача 3. Найти площадь полной поверхности правильной пирамиды

Сторона правильной треугольной пирамиды равна 3 см а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение
Поскольку пирамида правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник. Поэтому площадь основания равна  
Формула нахождения площади равностороннего треугольника 
So =   9 * √3/4    

Правильная пирамида

Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам.  
Таким образом: 
OK / MK = cos 45 
Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций и подставим известные значения.  

OK / MK = √2/2 

Учтем, что OК равен радиусу вписанной окружности.

Тогда (по таблице соотношений в правильном треугольнике) 
OK = √3/6 a 
 OK = √3/6 * 3 =   √3/2    

Тогда 
OK / MK = √2/2 
√3/2 / MK = √2/2 
MK =   √3/√2 

Площадь боковой грани тогда равна половине произведения высоты на основание треугольника. 
  Sбок = 1/2 * 3√( 3/2 )  

Откуда площадь полной поверхности будет равна  
S =   9√3/4 + 3/2 √( 3/2 )  

0  


 Объем правильной треугольной пирамиды | Описание курса | Правильная пирамида с треугольником в основании (часть 4) 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика