Примечание. См. также таблицу значений тригонометрических функций для всех углов.

Синус 30, косинус 30, тангенс 30 градусов и синус 60, косинус 60, тангенс 60 градусов

Как были вычислены эти значения?
Также вы можете сразу перейти к: 

Значения тригонометрических функций синуса, косинуса, тангенса при α=30°

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС. Пусть, каждая из его сторон будет равна a. Согласно свойствам равностороннего треугольника, все его углы равны, в том числе угол ∠В=60°.

Значения синуса, косинуса и тангенса мы можем вычислить, если найдем соотношение соответствующих сторон для угла 30 градусов в прямоугольном треугольнике. Так как значение этих тригонометрических функций зависит исключительно от градусной меры угла, то вычисленные нами соотношения и будут значениями синуса 30, косинуса 30 и тангенса 30 градусов. 

Сначала совершим дополнительные построения. Из вершины А на сторону BC проведем медиану AO.

Медиана АО в равностороннем треугольнике одновременно является биссектрисой и высотой.

Тогда треугольник АОВ – прямоугольный с углом ∠ВАО=30°. (Угол В равен 60 градусам, ∠ВOA прямой и равен 90 градусам, следовательно, ∠ВАО = 180 - 90 - 60 = 30 градусов)

Для полученного прямоугольного треугольника вычислим значения тригонометрических функций его углов. Сделаем это сначала для угла 30 градусов.

Величина гипотенузы нам известна и равна a. Катет OB равен a/2 , так как AO - медиана треугольника ABC. Найдем катет AO.

По теореме Пифагора:

АВ²=АО²+ОВ²;

АО²=АВ²-ОВ²

подставим в полученное выражение значение гипотенузы (мы приняли, что оно равно а)

АО²=a²- (а/2)²

АО²=3a²/4  

AO=√( 3a²/4 ) =a√3/2

Теперь мы вычислили все стороны прямоугольного треугольника ABO. Учитывая, что AB = a, OB = a/2, AO = a√3/2, из соотношений сторон прямоугольного треугольника рассчитаем полученные значения. Согласно определению синуса, косинуса и тангенса:

sin 30 = OB / AB (по определению синуса - отношение противолежащего катета к гипотенузе)

cos 30 = AO / AB (по определению косинуса - отношение прилежащего катета к гипотенузе)

tg 30 = OB / AO (по определению тангенса - отношение противолежащего катета к прилежащему)

Откуда:

Так как треугольник ABC - равносторонний, то BO равно AB/2, а значение AO вычислено выше. В результате получаем табличные значения sin 30, cos 30 и tg 30 градусов

Табличные значения sin 30, cos 30 и tg 30 градусов:

То есть: 
Тангенс 30 градусов равен корню из трех на три
Синус 30 градусов равен одной второй или 0,5
Косинус 30 градусов равен корню из трех на два

Учитывая таблицу формул приведения тригонометрических функций,

Так как sin( 90°- 30°) = sin60°, а sin60°=cos30°, то:

Табличные значения sin 60, cos 60 и tg 60 градусов:

Как именно были вычислены эти функции, описано выше. Здесь же приведены сами значения:

Синус, косинус и тангенс угла пи на 3 (π/3)

Синус, косинус и тангенс угла пи на 6 (π/6)

Примечание. Данная статья показывает, как вычисляется значение sin 60, cos 60 и подобных значений. Если Вы хотите посмотреть сводную справочную информацию - перейдите на таблицу значений тригонометрических функций