Правильная пирамида - частный случай пирамиды.

Правильная пирамида. Определение

Определение 1. Пирамида называется правильной, если её  основанием является правильный многоугольник, при этом вершина такой пирамиды проецируется в центр ее основания. 

Определение 2. Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Элементы правильной пирамиды

• Высота боковой грани, проведенная из ее вершины называется апофема. На рисунке обозначена как отрезок ON
• Точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды (О)
• Треугольники, имеющие общую сторону с основанием и одну из вершин, совпадающую с вершиной, называются боковыми гранями (AOD, DOC, COB, AOB)  
• Отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания называется высотой пирамиды (ОК)
• Диагональное сечение пирамиды - это сечение, проходящее через вершину и диагональ основания (AOC, BOD)
• Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называется основанием пирамиды (ABCD)

Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т.д. то она называется правильной треугольной, четырехугольной и т.д.

Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр.

Свойства правильной пирамиды

• боковые ребра равны между собой
• апофемы равны
• боковые грани равны между собой (при этом, соответственно, равны их площади, боковые стороны и основания), то есть они являются равными треугольниками
• все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками
• в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу
• если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π, а каждый из них соответственно π/n, где n — количество сторон многоугольника основания
• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
• около основания правильной пирамиды можно описать окружность (см. также радиус описанной окружности треугольника)
• все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы
• все высоты боковых граней равны между собой

Указания к решению задач. Свойства, перечисленные выше, должны помочь в практическом решении. Если требуется найти углы наклона граней, их поверхность и т. д., то общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для нахождения отдельных элементов пирамиды, поскольку многие элементы являются общими для нескольких фигур.

Необходимо разбить всю объемную фигуру на отдельные элементы - треугольники, квадраты, отрезки. Далее, к отдельным элементам применить знания из курса планиметрии, что существенно упрощает нахождение ответа.

Формулы для правильной пирамиды

Формулы для нахождения объема и площади боковой поверхности:

Обозначения:
V - объем пирамиды
S - площадь основания
h - высота пирамиды
Sb - площадь боковой поверхности 
a - апофема (не путать с α)
P - периметр основания
n - число сторон основания
b - длина бокового ребра
α - плоский угол при вершине пирамиды

Данная формула нахождения объема может применяться только для правильной пирамиды:

, где

V - объем правильной пирамиды
h - высота правильной пирамиды
n - число сторон правильного многоугольника, который является основанием для правильной пирамиды
a - длина стороны правильного многоугольника

Правильная усеченная пирамида

Если провести сечение, параллельное основанию пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований. 

Высота боковой грани (которая является равнобокой трапецией), называется — апофема правильной усеченной пирамиды.

Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная.

•  Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды
• Все грани правильной усеченной пирамиды являются равнобокими (равнобедренными) трапециями 

Примечания

См. также: частные случаи (формулы) для правильной пирамиды:

• Для правильной треугольной пирамиды

Как воспользоваться приведенными здесь теоретическими материалами для решения своей задачи:

1. Ознакомьтесь со справочными материалами
2. Выясните, по условию задачи, о какой именно правильной пирамиде идет речь
3. После этого в дереве знаний справа, найдите подходящий урок с данной фигурой (см. решение задач про правильную пирамиду с треугольником в основании, с четырехугольником в основании). Если нужного решения не нашлось, попробуйте ознакомиться с содержанием соседних уроков, возможно, решение подобной задачи есть именно там
4. Если Вы просмотрели весь раздел, но аналогичной задачи не нашлось, напишите о своей проблеме на форуме "раздел для школьников" в соответствующей теме. Обязательно ознакомьтесь предварительно с правилами форума.