Правильный тетраэдр (пирамида)
147 / 178
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√".

Теория

(теоретические сведения см. также в уроке "Правильный тетраэдр")

Правильный тетраэдр - это правильная треугольная пирамида у которой все грани являются равносторонними треугольниками.

У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны

У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Основные формулы для правильного тетраэдра приведены в таблице.
Формулы для правильного тетраэдра
Где:
S - Площадь поверхности правильного тетраэдра
V - объем
h - высота, опущенная на основание
r - радиус вписанной в тетраэдр окружности
R - радиус описанной окружности
a - длина ребра

Практические примеры

Задача.
Найдите площадь поверхности треугольной пирамиды, у которой каждое ребро равно √3

Решение.
Поскольку все ребра треугольной пирамиды равны - она является правильной. Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды равна S = a2√3 .
Тогда
S = 3√3

Ответ: 3√3

Задача.
Все ребра правильной треугольной пирамиды равны 4 см. Найдите объем пирамиды
Правильная пирамида

Решение.
Поскольку в правильной треугольной пирамиде высота пирамиды проецируется в центр основания, который одновременно является центром описанной окружности, то

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3 / 3

Таким образом, высота пирамиды OM может быть найдена из прямоугольного треугольника AOM

AO2 + OM2 = AM2
OM2 = AM2 - AO2
OM2 =  42 - ( 4√3 / 3 )2
OM2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Объем пирамиды найдем по формуле V = 1/3 Sh
При этом площадь основания найдем по формуле S = √3/4 a2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16 ) ( 4√2 / √3 )
V = 16√2 / 3

Ответ: 16√2 / 3 см
0  


 Правильная пирамида с треугольником в основании (часть 4) | Описание курса | Пирамида и вписанный конус 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика