|
Примечание. Это урок с решениями задач по геометрии (раздел цилиндр). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии,
которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" может использоваться знак "√".
Задача
Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна 4√2.
Вычислить объем цилиндра.
Решение.
Поскольку диагональ сечения цилиндра - квадрат, то обозначим его сторону как a.
a2 + a2 = (4√2)2
2a2 = 32
a2 = 16
a = 4
Объем цилиндра найдем по формуле:
V = πd2 / 4 * h
откуда
V = π42 / 4 * 4
V = 16π
Ответ: Объем цилиндра равен 16π
Задача
Куб с ребром длиной а вписан в цилиндр. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
Решение.
Проведем плоскость через основание цилиндра.
Диагональ куба является одновременно диаметром цилиндра. Зная сторону куба, определяем длину диагонали AC квадрата ABCD как
CD2 + AD2= AC2
a2 + a2 = AC2
2a2 = AC
AC = a√2
Проведем плоскость через ось цилиндра по диагонали AC. Высота сечения равна длине ребра куба и по условиям задачи рана а, а ширина сечения равна a√2.
Таким образом, площадь сечения равна:
S = a * a√2 = a2√2
Ответ: a2√2
Задача
Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и образует с плоскостью нижнего основания угол 45 градусов. Найти обьём цилиндра.
Решение.
Поскольку основание осевого сечения образует с высотой цилиндра, принадлежащей сечению, прямой угол, то треугольник, который образован диагональю осевого сечения, высотой цилиндра и его диаметром - прямоугольный.
Исходя из этого, угол между диагональю и высотой также равен 45 градусов ( 180 - 90 - 45 ).
Таким образом, треугольник является равнобедренным, а, следовательно, высота цилиндра равна его диаметру. Применив теорему Пифагора, найдем их.
d2 + d2 = 122
2d2 = 144
d2 = 72
Теперь применим формулу объема цилиндра V = пd2 / 4 h
V = 72п / 4 * √72
V = 18п * √72 = 108п * √2
Ответ: 108п * √2
Задача
Высота цилиндра 2м. Радиус основания 7м. В этот цилиндр наклонно вписан квадрат так, что все вершины его лежат на окружностях оснований. Найти сторону квадрата.
Решение.
В силу симметричности квадрата и цилиндра и ввиду того, что квадрат наклонный, диагональ квадрата пересечет ось цилиндра ОО1 в точке М, являющейся серединой отрезкаОО1. По условию ОО1=2м, а ОА=7 м, поэтому ОМ=1м.
Пусть d – диагональ квадрата. Тогда сторона квадрата а равна:
Цилиндр и его сечения |
Описание курса
| Осевое сечение цилиндра
|