Объем правильной треугольной пирамиды
144 / 178
Примечание. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√".

Задача

В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к основанию под углом 60 градусов. Расстояние от центра основания до боковой грани равно 2√3. Найти объём пирамиды.

Решение.
Основанием правильной треугольной пирамиды по определению является равносторонний треугольник. А расстояние от центра основания до боковой грани равно радиусу вписанной окружности. Согласно свойствам равностороннего треугольника площадь основания равна:
Формула нахождения площади равностороннего треугольника

S = 3√3  r2 = 3√3 (2√3)2 = 36√3

Правильная пирамида

Поскольку грани наклонены к основанию под углом 60 градусов, то для прямоугольного треугольника MOK

tg MKO = MO/KO
tg 60 = MO / (2√3)

Исходя из таблицы значений тригонометрических функций tg 60 = √3

√3 = MO / (2√3)
MO = 6

Таким образом, высота пирамиды равна 6 см.

Объем пирамиды найдем по формуле:

S = 1/3 Sh
S = 1/3 * 36√3 * 6
S = 72√3

Ответ: 72√3

Задача


Сторона основания правильной треугольной пирамиды а, а боковое ребро b. Найти объем пирамиды.
Решение.
Сторона основи правильної трикутної піраміди а, а бічне ребро b. Знайти об'єм піраміди.
Рiшення.

Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) с проведенной высотой, апофемой, и высотой основания. Правильна трикутна піраміда (тетраедр) з проведеною висотою, апофемою, і висотою основи.


В стандартной формуле объема пирамиды выразим площадь основания через формулу площади равностороннего треугольника, поскольку нам известна его сторона. (Формула 1)

Найдем высоту пирамиды, выразив ее по теореме Пифагора через треугольник OED как разность квадратов апофемы ED и отрезка до точки пересечения высот OD. (Формула 2)

OD найдем по свойству равностороннего треугольника. Точка пересечения высот, медиан и биссектрис делится в пропорции 1 к 2, то есть равна одной трети высоты равностороннего треугольника. Подставив формулу нахождения высоты равностороннего треугольника, получим длину искомого отрезка OD, выраженного через сторону основания пирамиды (Формула 3)

ED является высотой равнобедренного треугольника, которую легко найти, зная длину основания и длины боковых сторон (даны по условию задачи). Выразим ее также через теорему Пифагора. (Формула 4)

Подставим в Формулу 2 найденные значения из Формул 3 и 4 , в результате чего получим Формулу 5

Упростим выражение, полученное в Формуле 5, раскрыв скобки, приведем дробь к общему знаменателю, а потом снова упростим выражение. Получим Формулу 6, представляющую собой высоту пирамиды, выраженную через сторону основания и длину бокового ребра, согласно данным из условия.

В Формулу 1 подставим найденное значение высоты пирамиды из формулы 6, в результате чего получим ответ задачи - Формула 7.
У стандартній формулі об'єму піраміди виразимо площа підстави через формулу площі рівностороннього трикутника, оскільки нам відома його сторона. (Формула 1)

Знайдемо висоту піраміди, висловивши її по теоремі Піфагора через трикутник OED як різницю квадратів апофемы ED і відрізка до точки перетину висот OD. (Формула 2)

OD знайдемо по властивості рівностороннього трикутника. Точка перетину висот, медіан і бісектрис ділиться в пропорції 1 до 2, тобто дорівнює однієї третини висоти рівностороннього трикутника. Підставивши формулу знаходження висоти рівностороннього трикутника, отримаємо довжину шуканого відрізка OD, вираженого через сторону основи піраміди (Формула 3)

ED є висотою рівнобедреного трикутника, яку легко знайти, знаючи довжину підстави і довжини бічних сторін (дано по умові задачі). Виразимо її також через теорему Піфагора. (Формула 4)

Підставимо у Формулу 2 знайдені значення з Формул 3 і 4 , в результаті чого отримаємо Формулу 5

Спростимо вираз, отриманий у Формулі 5, розкривши дужки, наведемо дріб до спільного знаменника, а потім знову спростимо вираз. Отримаємо Формулу 6, представляє собою висоту піраміди, виражену через сторону основи і довжину бічного ребра, згідно з даними з умови.

У Формулу 1 підставимо знайдене значення висоти піраміди з формули 6, в результаті чого отримаємо відповідь завдання - Формула 7.

Нахождение объема правильной треугольной пирамиды, если известны длины ее ребер и сторона основания. Знаходження об'єму правильної трикутної піраміди, якщо відомі довжини її ребер і сторона основання.


0  


 Периметр основания правильной треугольной пирамиды | Описание курса | Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика