Площадь поверхности цилиндра
173 / 178

Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии о площади поверхности цилиндра. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Задача

Какой из цилиндров с обьемом 128π см3 имеет наименьшую полную поверхность?

Решение.
Формула нахождения объема цилиндра
V = πr2 h

Поскольку объем цилиндра нам известен, то
πr2  h = 128π
откуда
r2  h = 128
h = 128 /  r2 

Площадь полной поверхности цилиндра равна площади его оснований и площади боковой поверхности. Таким образом, формула площади поверхности цилиндра будет выглядеть следующим образом:  
 S = 2πr2  + 2πrh 
где
πr2 - площадь основания цилиндра (площадь круга)
2πr - длина окружности основания

Подставим значение высоты цилиндра в полученную формулу
S = 2πr2  + 2πrh 
S =  2πr2  + 2πr  * 128 /  r2   
S =  2πr2  + 256π / r

Если представить полученную формулу как функцию площади заданного в задаче цилиндра, то минимальная площадь цилиндра будет достигнута в точке экстремума данной функции. Для нахождения экстремума дифференцируем полученную функцию.
f(r) =  2πr2  + 256π / r
Формулы дифференцирования можно посмотреть в таблице производных. Получим:
f '(r) = 4πr - 256π /  r2 

Поскольку в точке экстремума производная функции равна нулю, приравняем  f '(r) к нулю и решим уравнение. 
4πr - 256π /  r2  = 0
получим
 4πr ( 1 - 64/r ) = 0
откуда
 4πr = 0 или  1 - 64/r = 0 

первый найденный корень уравнения  r = 0 отбрасываем, 
1 - 64/r = 0
r = 64

Откуда 
h = 128 /  r2 
h = 128 / 4096
h = 0.03125 или 1/32

Ответ: минимальная площадь цилиндра будет достигнута при h = 1/32 см, r =64 см

Задача


Площадь основания цилиндра равна Q, а площадь осевого сечения М. Чему равна полная поверхность цилиндра?

Площа основи циліндра дорівнює Q, а площа осьового перерізу М. Чому дорівнює повна поверхня циліндра?


Решение. Рiшення.

Найдем площадь осевого сечения цилиндра.
S = 2HR
По условию задачи
2HR = M
откуда
2R = M / H

Площадь каждого основания цилиндра
S = πR2
По условию задачи
πR2=Q

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей оснований и площади боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна
Sб = 2πRH
Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра
Sп = 2Q + 2πRH
Учтем, что значение 2R = M/H, получим
Sп = 2Q + ( M / H ) πH
откуда
Sп = 2Q + πМ
Знайдемо площу осьового перетину циліндра.  
S = 2HR  
По умові завдання  
2HR = M  
звідки  
2R = M / H   

Площа кожної основи циліндра  
S = πR2  
По умові завдання  
πR2=Q  

Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі площ підстав і площі бічної поверхні.  
Площа бічної поверхні цилiндра рівна  
Sб = 2πRH  
Таким чином, площа повної поверхні циліндра
Sп = 2Q + 2πRH 
Врахуємо, що значення 2R = M/H, отримаємо
Sп = 2Q + ( M / H ) πH з
відки
Sп = 2Q + πМ

ОтветSп = 2Q + πМ
0  


 Диагональ цилиндра | Описание курса | Конус 
   

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!




Нажмите, чтобы рекомендовать эту страницу другим:
Рейтинг@Mail.ru Яндекс.Метрика